Diferenciace a derivace jsou pojmy používané v matematické analýze k popisu změny ve funkci definované algebraicky nebo geometricky. Tyto pojmy spolu úzce souvisí a pochopení jejich rozdílů může být zpočátku matoucí. Jakmile však pochopíte podstatu těchto pojmů, můžete pochopit, že diferenciál a derivace se používají v různých situacích a mají různé vlastnosti a významy.
Derivace funkce popisuje rychlost, s jakou se hodnota funkce mění vzhledem ke změně jejího argumentu. Je to limit poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, když druhý přijde k nule. Derivace je zpočátku funkcí, která udává, jak rychle se mění hodnota původní funkce v každém bodě v její definiční oblasti. Je důležité poznamenat, že derivaci lze vypočítat pro funkci libovolné proměnné a může být buď konstantní, nebo závislá na hodnotě argumentu.
Diferenciál na druhé straně představuje částečné zvýšení nebo snížení funkce v důsledku změny argumentu. Lze ji považovat za přírůstek funkce v důsledku změny argumentu za předpokladu, že derivace v tomto bodě zůstane konstantní. Diferenciál umožňuje aproximovat změnu funkce v blízkosti vybraného bodu a lze jej použít k nalezení přibližné hodnoty funkce v blízkosti tohoto bodu.
Rozdíl mezi diferenciálem a derivací
Derivát
Derivace je koncept, který ukazuje, jak rychle se funkce mění v každém bodě své definice. Ukazuje, jaký bude přírůstek funkce s nekonečně malou změnou v jeho argumentu. Matematicky je derivace funkce f(x) označena jako f'(x) nebo dy/dx.
Derivaci lze vypočítat jako limit poměru změny hodnoty funkce ke změně jejího argumentu, protože změna argumentu má tendenci k nule. To vám umožní určit rychlost změny funkce v každém bodě, a tedy zjistit vlastnosti funkce, jako je nárůst, pokles, extrémní body atd.
Diferenciál
Diferenciál je nekonečně malý přírůstek funkce. Symbolicky je diferenciál funkce f(x) označen jako dx. Diferenciál ukazuje, jak moc se hodnota funkce změní s malou změnou jejího argumentu.
Diferenciál lze zapsat pomocí derivace jako dx = f'(x) * dx. To umožňuje, aby byla změna funkce vyjádřena pomocí její derivace a změny argumentu.
| Derivát | Diferenciál |
|---|---|
| Určuje rychlost změny funkce v každém bodě | Určuje, jak se funkce změní s nekonečně malou změnou argumentu |
| Označuje se jako f'(x) nebo dy/dx | Označeno jako dx |
| Snadno se vypočítá pomocí specifického vzorce | Vyjádřeno derivací a změnou argumentu |
| Umožňuje analyzovat vlastnosti funkce | Umožňuje popsat změnu funkce s nekonečně malou změnou argumentu |
Co je to diferenciál?
Diferenciál nepředstavuje pouze malou změnu nebo rozdíl ve funkci, ale také definuje hodnotu přírůstku, pamatuje si počáteční bod a obsahuje informace o tom, jak se funkce v tomto bodě změní.
Definice
Diferenciál funkce f(x) v bodě x je reprezentován následovně:
| Diferenciál funkce f(x) | = | f'(x)dx |
|---|
kde f'(x) je derivace funkce f(x) a dx je nekonečně malá změna v argumentu x.
Rozdíl umožňuje přibližně odhadnout změnu hodnoty funkce, když se argument změní o malou hodnotu. Pomocí diferenciálu můžete najít tečny, optimalizovat funkce a analyzovat extrémy a inflexní body.
příklad
Podívejme se na příklad použití diferenciálu. Nechť existuje funkce y = x^2, argument x má hodnotu 2 a dx = 0.1. Změnu hodnoty funkce dy zjistíme pomocí diferenciálu:
| dy | = | f'(2)dx |
|---|---|---|
| = | 2 (2) (0.1) | |
| = | 0.4 |
Pokud se tedy argument x změní na 0.1, hodnota funkce y se změní na 0.4.
Co je to derivát?
Z matematického hlediska je derivace funkce f(x) v bodě x0 definována jako limit poměru změny hodnoty funkce ke změně argumentu v tomto bodě, jak má změna argumentu tendenci. na nulu:
f'(x_0) = lim(x->0) (f(x) – f(x_0))/x
Derivát má několik výkladů. Za prvé, ukazuje rychlost změny funkce v daném bodě: je-li derivace kladná, pak funkce roste, je-li záporná, pak funkce klesá. Za druhé, derivace je sklon tečny ke grafu funkce v daném bodě. Derivace navíc umožňuje určit extrémy funkce, tedy místa, kde funkce dosahuje svých maximálních nebo minimálních hodnot.
V několika případech derivát
Existují různé typy derivátů, které mohou být užitečné v různých situacích:
Derivace funkce jedné proměnné
Když funkce závisí pouze na jedné proměnné, derivace se najde pomocí vzorce popsaného výše. Derivace funkce jedné proměnné ukazuje rychlost změny hodnoty této funkce v každém bodě jejího definičního oboru.
Parciální derivace funkce více proměnných
Když funkce závisí na několika proměnných, jejich derivace v každém bodě nám umožňují určit, jak se funkce změní, když se každá proměnná změní samostatně. Parciální derivace umožňuje zjistit, kterým směrem se funkce mění rychleji nebo pomaleji.
